[Python] 행렬의 성질

2.3 행렬의 성질 — 데이터 사이언스 스쿨

※ 위 내용의 복습 글입니다.

 

정부호와 준정부호

양의 정부호 행렬(陽의 正符號, Positive Definite Matrix)

영 벡터가 아닌 모든 벡터 X에 대하여 다음 부등식이 성립하면 행렬 A가 양의 정부호(positive definite)라고 한다.

 

만약 등호가 포함이 되면 양의 준정부호(positive semi-definite)라고 한다.

 

대표적인 예로 항등행렬 I는 정부호다.

 

연습 문제 2.3.1

다음 행렬이 양의 정부호인지 양의 준정부호인지 혹은 어떤 것에도 해당되지 않는지 판단하라.

-> X = [a, b]T 로 두고 풀면 2(a+b)^2이 나온다. 

즉, a == -b에서 0이 되므로 준정부호이다. 

물론 determinent로 계산해도 >=0으로 나온다.

 

행렬 놈(norm)

놈(norm)은 선형대수에서 벡터의 크기(magnitude) 또는 길이(length)를 측정하는 방법을 의미한다.

[선형대수학] 놈(norm)이란 무엇인가?

 

측정하는 방법을 놈이라고 하다 보니 놈의 종류에는 여러 가지가 있다. 보통 1, 2 또는 무한대가 사용된다.

그중 2인 유클리드 놈(Euclidean norm)을 가장 많이 사용한다.

(리뷰하는 사이트에선 프로베니우스 놈(Frobenius norm)이라 소개한다.)

 

사실 말만 들으면 어려워 보이지만 평소에 거리를 구할 때 사용하던 방법이 바로 유클리트 놈이다.

 

유클리드 놈 예시

이것을 N-차원 벡터로 확장하면 다음과 같다.

넘파이에서 기본적으로 norm() method를 통해 행렬의 norm을 계산할 수 있다.

 

 

대각합

대각합(trace)은 정방행렬에서만 정의된다.

성질

1. 스칼라를 곱하면 대각합은 스칼라와 원래의 대각합의 곱이다.

2. 전치연산을 해도 대각합이 달라지지 않는다.

3. 두 행렬의 합의 대각합은 두 행렬의 대각합의 합이다.

4. 두 행렬의 곱의 대각합은 행렬의 순서를 바꾸어도 달라지지 않는다.

5. 세 행렬의 곱의 대각합은 순서를 순환시켜도 달라지지 않는다.

 

넘파이에서는 trace() 명령으로 대각합을 구할 수 있다.

 

행렬식

정방행렬 A의 행렬식(determinant)은 det(A), detA, 또는 |A|라는 기호로 표기한다.

 

3x3이 넘어가는 경우 여인수 전개(또는 라플라스 전개)를 통해 구하게 된다. (흔히 아는 대각선 곱 형태)

라플라스 전개 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

넘파이에서는 det() 명령으로 행렬식을 간단히 구할 수 있다.

선형대수 시간에 얼마나 고생을 했던가..

 

예시

※ 위 행렬의 행렬식은 0이 맞지만, 부동소수 연산이다 보니 0에 가까운 값이 나왔다. 0으로 생각하면 된다.

 

연습 문제 2.3.7

다음 행렬이 양의 정부호인지, 양의 준정부호인지 혹은 두 가지 중 어느 것도 아닌지 판단하라. 그리고 행렬의 대각합과 행렬식을 구하라.

 

(1)

detA > 0이므로 양의 정부호이다.

detA는 4, 대각합은 6이다.